Первообразная методы интегрирования Формула Ньютона-Лейбница Свойства площади Объем тела вращения Интегрирование по частям Предел функции Свойства пределов Дифференцирование Градиент Старшие производные Формула Тейлора экстремум

Третий предшественник Ньютона - Роберт Гук - был замечательный физик-экспериментатор. Он также пытался вывести открытые Кеплером законы движения планет из притяжения Земли к Солнцу. Гук угадал, что для справедливости законов Кеплера необходимо, чтобы притяжение между телами было обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

Формула Тейлора для функций многих переменных

Пусть u = f(x) на D , x0 - внутренняя точка D . Если f имеет в U(x0) производные (m+1)-го порядка, то в этой окрестности

f(x) = , (1)

где xq = x0 + q Dx, Dx = x – x0 .

* Доказательство. Пусть x Î U(x0), x t = x0 + t Dx , F(t) = f(x0 + t Dx) . Функция F(t) будет (m+1)- раз дифференцируема на (-d, 1+d) . Кроме того при линейной замене имеет место свойство инвариантности дифференциалов высших порядков

dF(0) = df(x0),…, d kF(q) = d kf(xq ) .

Равенство (1) будет следовать из разложения по формуле Тейлора функции F(t)

F(t)=

Теорема. Если f(x) имеет в окрестности точки x0 (n=2) частные производные (m+1)-го порядка, непрерывные в самой точке x0 , то при x®x0

f(x) = +o(rm(x,x0)) (2)

Доказательство. Как мы видели, в некоторой окрестности x0

f(x) = ,

xq = x0 + q Dx, Dx = x – x0 . Имеем

, |Dxk|£ r(x,x0). Откуда

£ Crm+1=o(rm).

Замечание. Отметим, что

.

Поэтому

d mf(x0) = =  (3)

Подставляя (3) в (1) получим вид разложения по формуле Тейлора в более развернутом виде

f(x) = +o(rm), (4)

Можно показать, что представление (4) в некотором смысле единственно. Именно, если при x® x0 имеет место

f(x) = +o(rm),

то коэффициенты aa определяются единственным образом, а именно, имеют тоже выражение, что и в (4). В последней формуле использованы следующие обозначения: a - мультииндекс, a=(a1,…,an), aa = , |a|=a1+…+an , a! = a1!…an! , =, .

Пример. Разложить в окрестности точки (1,1) функцию u=ex+y до m-го порядка.

d ku = ex+y(dx+dy)k=ex+y, ex+y = +o(rm).

Это же разложение можно получить из формулы

ev=.

 

  В течение пятого, четвертого и третьего тысячелетия до н. э. новые и более совершенные формы общества складывались на основе упрочившихся общин нового каменного века, существовавших на берегах, великих рек Африки и Азии в субтропическом поясе и вблизи него. Эти реки – Нил, Тигр и Евфрат, Инд, позже – Ганг, Хуанхэ, еще позже – Янцзы.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика