Первообразная методы интегрирования Формула Ньютона-Лейбница Свойства площади Объем тела вращения Интегрирование по частям Предел функции Свойства пределов Дифференцирование Градиент Старшие производные Формула Тейлора экстремум

Другой учитель Ньютона - Исаак Барроу - первый заметил, что вычисление площади под графиком функции и проведение касательной к графику функции - взаимно обратные операции. Но Барроу избегал алгебраических доказательств, а работал в стиле Евклида; поэтому его книги были мало понятны молодым читателям.

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Старшие производные.

усть f(x,y) определена на D , если существует частная производная  в некоторой окрестности точки M0 , то можно говорить о производной от этой функции

, .

Аналогично определяются производные . Те частные производные, где дифференцирование происходит по разным переменным, называются смешанными. Точно также определяются частные производные второго порядка в общем случае

.

Производная n – го порядка определяется, как производная от производной n -1 -го порядка. Выбор переменных, по которым производится дифференцирование и порядок этого дифференцирования определяется порядком записи переменных в знаменателе при обозначении производной n – го порядка. Порядок дифференцирования читается справа налево. Например,

.

Теорема (о независимости частных производных от порядка дифференцирования). Пусть u = f(x,y) имеет в окрестности точки M0(x0,y0) смешанные производные  и  непрерывные в самой точке M0 . Тогда в этой точке смешанные производные равны

 = .

Доказательство. Рассмотрим выражение

W =  (1)

Это же выражение можно записать в виде

W =  (2)

Положим j(x) = f( x, y) – f( x, y0) . Из (1) получим

W = == (3)

Теперь положим y(x) = f( x, y) – f( x0, y) . Из (2) получим

W = == (4).

Требуемое равенство получится, если перейти к пределу в (3), (4).

Замечание. Утверждение теоремы справедливо для смешанных производных любого порядка по любым переменным, лишь бы число дифференцирований по каждой переменной в обоих случаях было одно и тоже.

Например,

, при условии, что указанные смешанные производные существуют в некоторой окрестности и непрерывны в самой точке.

 

  Краткие сведения из эпохи зарождения математики показывают, что наука в своем развитии не проходит обязательно все те этапы, из которых теперь складывается ее преподавание. Лишь недавно ученые обратили должное внимание на некоторые из древнейших известных человечеству геометрических фигур такие, как узлы или орнаменты.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика