Первообразная методы интегрирования Формула Ньютона-Лейбница Свойства площади Объем тела вращения Интегрирование по частям Предел функции Свойства пределов Дифференцирование Градиент Старшие производные Формула Тейлора экстремум

Другой учитель Ньютона - Исаак Барроу - первый заметил, что вычисление площади под графиком функции и проведение касательной к графику функции - взаимно обратные операции. Но Барроу избегал алгебраических доказательств, а работал в стиле Евклида; поэтому его книги были мало понятны молодым читателям.

Дифференцируемые функции многих переменных

Производная по заданному направлению Градиент.

Пусть u = f(x,y,z) , M0(x0,y0,z0)Î D. градиент функции f в точке M0 определяется по формуле grad f = .

Пусть l единичный вектор ||l ||=1, l =i cos a + j cos b + k cos g , обозначим

M t = (x0 + t cos a , y0 + t cos b , z0 + t cos g )=M0 + t l .

Производной по направлению вектора l называется предел

.

Теорема. Если функция f дифференцируема в точке M0 , то

Доказательство. r(Mt,M0)=t, (t > 0 ). f(M t) – f(M 0) = . Далее по определению производной по направлению получается требуемое неравенство

==

=

Из последнего неравенства следует, что у дифференцируемой функции существует производная по любому направлению.

Задача. Для заданной функции f(x) в точке x0 найти направление, в направлении которого функция f(x) имеет максимальный рост (максимальное убывание).

Решение. Так как l) то искомое направление определяется вектором l = .

  Краткие сведения из эпохи зарождения математики показывают, что наука в своем развитии не проходит обязательно все те этапы, из которых теперь складывается ее преподавание. Лишь недавно ученые обратили должное внимание на некоторые из древнейших известных человечеству геометрических фигур такие, как узлы или орнаменты.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика