Первообразная методы интегрирования Формула Ньютона-Лейбница Свойства площади Объем тела вращения Интегрирование по частям Предел функции Свойства пределов Дифференцирование Градиент Старшие производные Формула Тейлора экстремум

Другой учитель Ньютона - Исаак Барроу - первый заметил, что вычисление площади под графиком функции и проведение касательной к графику функции - взаимно обратные операции. Но Барроу избегал алгебраических доказательств, а работал в стиле Евклида; поэтому его книги были мало понятны молодым читателям.

Дифференцируемые функции многих переменных

Простейшие свойства дифференциала

Дифференцирование сложной функции.

Теорема. Пусть u=f(x) дифференцируема в точке x0 = (x10,x20,…,xn0) и функция j(t),t=(t1,…,tm) дифференцируема в точке t0 и x0 = j(t0). Тогда в окрестности точки t0 определена сложная функция F(t) = f(j(t)) и эта функция дифференцируема в точке t0 и

dF = .

Доказательство. В силу дифференцируемости f и jj эти функции непрерывны в точках x0 и t0 соответственно. Из теоремы о непрерывности сложной функции суперпозиция определена в некоторой окрестности точки t0 . Положим r=r(x,x0)=r(j(t),j(t0)), r = r(t,t0)=, Dxi = ji(t) - ji(t0) . Отметим, что r/r ограничено в некоторой окрестности точки t0 . Действительно,

r £ max|Dxi|=max£ max

Так как , то  , откуда и следует ограниченность этой функции. Далее

DF=Df=, Dxi=. Из этих соотношений следует

DF==.

Из ограниченности r/r следует, что e¢ = - бесконечно малая функция и дифференцируемость сложной функции доказана.

Следствие. В силу единственности дифференциала, справедливо равенство

.

  Краткие сведения из эпохи зарождения математики показывают, что наука в своем развитии не проходит обязательно все те этапы, из которых теперь складывается ее преподавание. Лишь недавно ученые обратили должное внимание на некоторые из древнейших известных человечеству геометрических фигур такие, как узлы или орнаменты.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика