Первообразная методы интегрирования Формула Ньютона-Лейбница Свойства площади Объем тела вращения Интегрирование по частям Предел функции Свойства пределов Дифференцирование Градиент Старшие производные Формула Тейлора экстремум

Так математики и физики называют последнюю треть 17 века и первую четверть 18 века - то время, когда был создан современный математический анализ (исчисление производных и интегралов от любых гладких функций). Эту огромную работу проделала большая группа ученых из разных стран Европы. Но англичанин Исаак Ньютон занимает среди них особое место. Он был на редкость талантлив, ему во многом повезло, и он с блеском использовал это везение.

Функции многих переменных

Свойства пределов.

Для пределов функций многих переменных имеют место те же свойства, что и для функции одного переменного: локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел, сохранение знака функции, имеющей не нулевой предел, свойства арифметических операций ( сложение, умножение, деление). Докажем, например, свойство произведения пределов.

Если существуют конечные пределы , , то будет существовать .

Доказательство проводится используя определение предела по Гейне. Пусть {xk} последовательность типа Гейне (xk ® x0 ) . Тогда , . Откуда следует, что , поэтому .

4. Предел функции в точке в направлении заданного вектора.

Пусть f(x) определена в некоторой проколотой окрестности  точки x0 и a=(a1,a2,…,an) – заданный вектор.

Пределом функции f(x) в точке x0 в направлении вектора a называется предел

.

Замечание. Если существует , то существует и предел функции f(x) в точке x0 по любому направлению и он равен A.

Для доказательства достаточно отметить, что

r( x0+ta, x0 )=.

Таким образом при t®0+0 будет r( x0+ta, x0 ) ®0.

  Возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Единицы измерения были грубы, и при этом часто исходили из размеров человеческого тела. Об этом нам напоминают такие единицы, как палец, фут (то есть ступня), локоть.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика