Первообразная методы интегрирования Формула Ньютона-Лейбница Свойства площади Объем тела вращения Интегрирование по частям Предел функции Свойства пределов Дифференцирование Градиент Старшие производные Формула Тейлора экстремум

Так математики и физики называют последнюю треть 17 века и первую четверть 18 века - то время, когда был создан современный математический анализ (исчисление производных и интегралов от любых гладких функций). Эту огромную работу проделала большая группа ученых из разных стран Европы. Но англичанин Исаак Ньютон занимает среди них особое место. Он был на редкость талантлив, ему во многом повезло, и он с блеском использовал это везение.

n – мерное евклидово пространство Основные определения

Геометрическая терминология в Rn.

(n – мерный) открытый шар радиуса e c центром в точке x0 или e окрестность точки x0 : Ue(x0)={ xÎRn:r(x,x0)<e }.

(n – мерный) замкнутый шар радиуса e c центром в точке x0 : e(x0)={ xÎRn:r(x,x0)£e }.

(n – мерная) сфера радиуса e c центром в точке x0 : Se(x0)={ xÎRn:r(x,x0)= e }.

В пространстве Rn(n>1) под окрестностью ¥ понимается любое множество вида {xÎRn:r(x,x0)>r}, для произвольного числа r, и произвольной точки x0.

(n – мерный) параллелепипед  : B=[a1,b1]´ [a2,b2]´´ [an,bn].

Проколотая окрестность точки: ={ xÎRn:0<r(x,x0)<e }.

Внутренняя точка множества – точка, которая принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Открытое множество – множество, все точки которого внутренние.

Предельная точка множества – точка, в любой окрестности которой содержится хотя бы одна точка множества, отличная от нее самой (или, что тоже, в любой окрестности этой точки содержится бесконечно много точек из данного множества).

Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки.

Пример. Для e(x0) множество внутренних точек совпадает с Ue(x0). e(x0) – замкнутое множество. Ue(x0) – открытое множество.

Замыкание множества – само множество плюс все его предельные точки. Обозначается чертой сверху.

Ограниченное множество – множество, содержащееся в некотором шаре.

Компакт – замкнутое, ограниченное множество.

Диагональ множества M – величина, определяемая равенством d(M)=.

Сходимость в метрическом пространстве. Последовательность

{xk}={(} называется сходящейся, если существует точка x такая, что . При этом пишут xk ® x.( уметь формулировать на языке e - N)

Фундаментальная последовательность. Последовательность {xk} называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

"e>0 $M "m>M "p:r(xm+p,xm)<e (3)

Из определения расстояния следуют неравенства

 (4)

Неравенства (4) позволяют установить

Теорема 1. Последовательность {xk} фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальны последовательностей ее координат  , j=1,2,…,n.

Неравенства аналогичные (4) можно выписать и для сходящейся последовательности xk® x. Именно

 (4*)

Неравенства (4*) позволяют установить

Теорема 2. Последовательность {xk} сходится к x тогда и только тогда, когда последовательности ее координат  , j=1,2,…,n сходятся  ® xj , j=1,2,…,n.

Следствие (Критерий Коши сходимости последовательности). Для сходимости последовательности  необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Теорема 3. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть xk® x . Для e = 1 $ M "m > M : r(xm,x) < 1. Тогда для "k :r(xk,x) £ max [1,].

Лемма (О стягивающихся к нулю вложенных параллелепипедах). Для последовательности вложенных параллелепипедов, диагональ которых ® 0, существует единственная общая точка.

Доказательство. Для n = 2. Дана система вложенных прямоугольников {Bk}={[ak,bk]´ [ck,dk]}, Bk+1 Ì Bk , d(Bk)®0. Рассмотреть системы вложенных отрезков для каждой из координат.

[a1,b1]É [a2,b2]ÉÉ [ak,bk] É…, bk – ak ® 0 Þ $x общая для всех [ak,bk].

  [с1,d1]É [c2,d2]ÉÉ [ck,dk] É…, dk –ck ® 0 Þ $h общая для всех [ck,dk].

Точка (x,h) - искомая.

  Возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Единицы измерения были грубы, и при этом часто исходили из размеров человеческого тела. Об этом нам напоминают такие единицы, как палец, фут (то есть ступня), локоть.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика