Первообразная методы интегрирования Формула Ньютона-Лейбница Свойства площади Объем тела вращения Интегрирование по частям Предел функции Свойства пределов Дифференцирование Градиент Старшие производные Формула Тейлора экстремум

Принято считать, что вся современная наука оформилась в 17 веке. Действительно, в конце этого столетия образовались первые академии наук и была создана первая научная картина мира, объединившая механику с астрономией. Основу такого синтеза первым угадал Галилей, заявивший около 1630 года: Природа говорит с нами на языке математики! Вернее сказать, что природа обращается к нам сразу на многих диалектах единого математического языка.

  Интегральное исчисление

Два основных метода интегрирования

Замена переменного

Если F(x)– первообразная для f(x) на X т.е. =F(x)+C , x=j(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция = F(j(t))+C, тогда функция F(t)=f(j(t))j¢(t) имеет первообразную, равную F(j(t)). Таким образом,

=.

Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться, что получится одна и та же функция.

Примеры:

 cos t dt =  d sin t = + C, x = sin t.

J = , сделаем замену x = t6, тогда

J=6=6=6t – 6 arctg t + C =6-6 arctg +C

Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) – дифференцируемы на отрезке X и существует

dv = (x)v¢(x)dx. Тогда существует du и выполняется равенство

du = uv - dv (формула интегрирования по частям)

  Доказательство. Пусть dv = F(x)+C. Тогда функция uv – F будет искомой, что можно проверить дифференцированием.

Пример. Выберем функции: v(x) = ln x, u(x) = x, тогда

x dx =x ln x - =x ln x – x + C.

1994 г. В Цюрихе (Швейцария) состоялся Международный математический конгресс, на котором высшая награда Международного союза математиков по чистой математики (премия Филдса) была присуждена за работы по алгебре Е.И.Зельманову.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика