Первообразная методы интегрирования Формула Ньютона-Лейбница Свойства площади Объем тела вращения Интегрирование по частям Предел функции Свойства пределов Дифференцирование Градиент Старшие производные Формула Тейлора экстремум

Теорию чисел Ферма строил почти в одиночестве: из всех его современников только англичанин Джон Валлис интересовался ею. Но Ферма имел важное преимущество перед Валлисом и перед своим античным предшественником - Диофантом. Он хорошо знал аналитическую геометрию и оперировал уравнениями так же свободно, как числами.

Площадь плоской области Свойства площади.

Теорема (Монотонность). Если D1, D2 квадрируемы и D1Ì D2 , то mD1 £ mD2 .

Доказательство. Любой Pi для D1 является вписанным и для D2, поэтому mD1=sup mPi ,будет £ mD2.

Теорема (Аддитивность). Если квадрируемая область D разбита кусочно-гладкой кривой на две подобласти D1 ,D2 , то они квадрируемы и

mD = mD1 + mD2.

Доказательство (только для ломаной, разбивающей область на две части). Обозначения см. на рис. 2_10_3.swf. Выполнены следующие соотношения

Pi¢¢È Pi¢= Pi , Pe¢¢È Pe¢= Pe (1)

По заданному e выберем Pi , Pe так, что m Pe - m Pi < e . Из (1) следует, что

mPi¢¢ + mPi¢= mPi , mPe¢¢+ mPe¢= mPe . Вычитая из второго равенства первое получим , (mPe¢¢ - mPi¢¢) + (mPe¢ - mPi¢)= mPe - mPi < e . Откуда получаем неравенства (mPe¢¢ - mPi¢¢) < e , (mPe¢ - mPi¢) < e . Таким образом, квадрируемость D1 ,D2 доказана. Для доказательства равенства mD = mD1 + mD2 можно рассмотреть последовательность вписанных в D многоугольников Pk , реализующих верхнюю грань sup mPi = mD и таких, что PkÌ Pk+1 , . Если через Pk¢, Pk¢¢ , обозначить, соответствующие заданному разбиению области, вписанные многоугольники для областей D1 ,D2 , то будет выполнено равенство

mPk¢ + mPk¢¢ = m Pk (2)

  так как Pk¢ Ì Pk+1¢ , Pk¢¢ Ì Pk+1¢¢ ( это следует из условия PkÌ Pk+1 ), то будут существовать пределы  и . Переходя к пределу в (2) получим

mD1 + mD2 ³  +   = mD.

Аналогичное рассуждение можно повторить для описанных многоугольников. В результате получим неравенство

mD1 + mD2 £ mD.

Откуда и следует требуемое равенство.

В качестве еще одного свойства площади отметим ее независимость от выбора системы координат. Легко доказать

Теорема (Второй критерий квадрируемости). Пусть D некоторая область. Если для

"e>0 $ кадрируемые , то D квадрируема.

В теореме сформулировано только достаточное условие квадрируемости, необходимость этого условия очевидна.

  Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом – собиранием ее, где только это было возможно

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика