Первообразная методы интегрирования Формула Ньютона-Лейбница Свойства площади Объем тела вращения Интегрирование по частям Предел функции Свойства пределов Дифференцирование Градиент Старшие производные Формула Тейлора экстремум

Ферма заинтересовался простой задачей: при каких условиях функция достигает минимума или максимума в данной точке ? Оказалось, что необходимо простое условие: производная от функции в этой точке должна быть равна нулю. В наши дни этот факт известен каждому старшекласснику: он помогает строить графики довольно сложных функций.

Теоремы о среднем, аддитивность по множеству, неравенство Коши-Буняковского

Теорема (Непрерывность интеграла по верхнему пределу). Если f интегрируема на [a,b], то F(x) = dt непрерывна на [a,b].

Доказательство.

|F(x+Dx) – F(x)| = |dt| £ M |Dx|.

 

Теорема 4. Если g(x) – монотонна на [a,b], f(x) – интегрируема, то$x :

f(x)g(x) dx = g(a) f(x) dx + g(b) f(x) dx .

Доказательство (Для случая , f(x)³0). Сначала докажем утверждение при дополнительном условии  g(x) – монотонно возрастает. Из неравенств g(a)f(x) £ g(x)f(x) £ g(b)f(x) следует

,

откуда получим

.

Таким образом, m = Î[g(a),g(b)]. Положим

a=. В этом случае b=1-a =. Для таких a, b будет выполнено ag(a)+bg(b)=

  Для xÎ[a,b] определим две функции

, .

Отметим, что a(a)=1, a(b)=0. Функция a(x) непрерывны на [a,b] и поэтому для числа aÎ[0,1]$x:a(x)=a (теорема о промежуточных значениях непрерывной функции). Тогда b(x)=1-a(x)=b и следовательно a(x)g(a)+b(x)g(b)=m или, что тоже

g(a)+g(b)= .

Откуда и следует требуемое равенство.

Если функция монотонно убывает, то следует рассмотреть функцию G(x) = -g(x) , которая будет монотонно возрастает и для нее утверждение доказано, откуда будет следовать утверждение для функции g(x) .

  1998 г. В Берлине (Германия) состоялся Международный математический конгресс, на котором высшая награда Международного союза математиков по чистой математики (премия Филдса) была присуждена за достижения в области физической математики М.Л.Концевичу.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика