Первообразная методы интегрирования Формула Ньютона-Лейбница Свойства площади Объем тела вращения Интегрирование по частям Предел функции Свойства пределов Дифференцирование Градиент Старшие производные Формула Тейлора экстремум

Принято считать, что вся современная наука оформилась в 17 веке. Действительно, в конце этого столетия образовались первые академии наук и была создана первая научная картина мира, объединившая механику с астрономией. Основу такого синтеза первым угадал Галилей, заявивший около 1630 года: Природа говорит с нами на языке математики! Вернее сказать, что природа обращается к нам сразу на многих диалектах единого математического языка.

  Интегральное исчисление

Первообразная, неопределенный интеграл

1.Определения

Интегрирование – обратная задача к дифференцированию.

Пусть X – связное множество, т.е. множество, которое вместе с любыми своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на связном множестве X, если F¢(x) = f(x).

Примеры:

1)  f(x)=0, F(x)=C (Const), X=(-¥,¥)

  f(x)=a (Const), F(x)=ax+C, X=(-¥,¥)

f(x)=cos x, F(x)=sin x+C, X=(-¥,¥)

f(x)=1/x, F(x)=ln x+C, X=(0,¥)

Замечание. Если F – первообразная для f на связном множестве X, то F1 =F +C также является первообразной для f, и наоборот, если F1 , F- первообразные для f, то F1 =F +C (Следствие из теоремы Лагранжа). Условие X – связное – существенно.

Пример. Функции ln |x| и ln|x| + sign x являются первообразными для 1/x на множестве X=(-¥,0)È(0,¥), но их разность не является константой.

Определение. Совокупность всех первообразных для f на связном X (если они существуют) называется неопределенным интегралом функции f и обозначается

Таким образом, если F – первообразная для f, то

=F(x)+C на X

Замечание. В обозначении неопределенного интеграла x несет смысловую нагрузку переменной для функции F(x)+C. Так, если x=j(t), то

F(j(t))+C =

  таким образом, интеграл справа понимается, как суперпозиция функций  и x=j(t).

1994 г. В Цюрихе (Швейцария) состоялся Международный математический конгресс, на котором высшая награда Международного союза математиков по чистой математики (премия Филдса) была присуждена за работы по алгебре Е.И.Зельманову.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика