Производная Определение производной

Вещественные числа Формула Муавра Теорема Коши Предел последовательности Элементарные функции Предел сложной функции Дифференциал функции Производная Многочлен Тейлора Векторная функция Асимптоты функций правила Лопиталя

1 955 г. Организован Вычислительный центр АН СССР. Появились первые позитивные публикации о кибернетики в СССР (Китов А.И., Ляпунов А.А., Соболев С.Л. Основные черты кибернетики; Кольман Э.Я. Что такое кибернетика // Вопросы философии. 1955. №4). До этого кибернетика определялась как "реакционная лженаука", направленная "против материалистической диалектики" и "марксистского, научного понимания законов общественной жизни

Дифференциальное исчисление

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Терминология

Dx=x - x0 – приращение аргумента.

Dy=D f =f(x) - f(x0) – приращение функции.

Определение. Производная в точке x0 определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

f¢(x0)= =.

Обозначения для производной

Лейбниц, f¢(x0) Лагранж, (x) Ньютон, Df(x0) Коши.

Аналогично определяются односторонние производные f¢(x0+0), f¢(x0-0).

f¢(x0+0)= , f¢(x0 - 0)=.

Теорема. Для существования f¢(x0) н. и д. существования обеих односторонних производных f¢(x0+0), f¢(x0 - 0) и их равенство.

Непосредственно следует из соответствующей теоремы для односторонних пределов.

Если f¢ существует всюду на множестве Х, то мы получаем новую функцию f¢ (x).

Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x0 называется дифференцируемой в точке x0, если существует число А, такое, что приращение функции представимо в виде

Df = f(x) - f(x0) = A(x - x0)+o (x – x0), x®x0

Теорема. Для существования f¢ (x0) необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке x0.

Для доказательства можно воспользоваться критерием существования предела в терминах бесконечно малых.

$ A Û .

Замечание. Отметим, что A= f¢ (x0).

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.

1 930 г. 24-29 июня в Харькове состоялся I Всесоюзный математический съезд. Д.Ф.Егоров, среди немногих (С.Н.Бернштейн, Н.М.Гюнтер), продемонстрировал отрицательное отношение к высказанному на съезде предложению отправить от имени математического съезда приветствие проходившему тогда же XVI съезду ВКП(б).

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика