Вещественные числа Формула Муавра Теорема Коши Предел последовательности Элементарные функции Предел сложной функции Дифференциал функции Производная Многочлен Тейлора Векторная функция Асимптоты функций правила Лопиталя

1950 г. В Кэмбридже (США) состоялся Международный математический конгресс. Советские математики не смогли принять участие в работе Конгресса, проходившего в разгар "борьбы с космополитизмом". Президент АН СССР С.И.Вавилов направил телеграмму Конгрессу, объясняющую отсутствие советской делегации: "Академия наук СССР благодарит за получение искреннего приглашения советским ученым принять участие в работе Международного математического конгресса, проводимого в Кэмбридже.

Предел функции

Критерий Коши существования предела функции

Пусть X область определения функции f содержит проколотую окрестность точки a .

Условие Коши для f(x) в окрестности a:

"e>0$ "x¢,x¢¢ÎÇX:|f(x¢) - f(x¢¢)|<e

Сформулируем условие Коши для других случаев

Односторонние пределы:

Предел справа "e>0$d>0"x¢,x¢¢Î(a,a+d)ÇX:|f(x¢)-f(x¢¢)|<e

Предел слева "e>0$d>0"x¢,x¢¢Î( a-d, a)ÇX:|f(x¢)-f(x¢¢)|<e

Условие Коши для +¥: f определена в окрестности +¥

"e>0$b"x¢,x¢¢Î(b,+¥)ÇX:|f(x¢) - f(x¢¢)|<e.

Условие Коши для -¥: f определена в окрестности -¥

"e>0$a"x¢,x¢¢Î(-¥,a)ÇX:|f(x¢) - f(x¢¢)|<e.

Условие Коши для ¥: f определена в окрестности ¥

"e>0$a"x¢,x¢¢Î(-¥,a)Ç (¥,a)ÇX:|f(x¢) - f(x¢¢)|<e.

 

Теорема. (Критерий Коши) Для существования конечного предела , где a число или символ н. и д., чтобы f удовлетворяла условию Коши в окрестности a.

Необходимость. Пусть e>0, для e/2 $ "xÎÇX:|f(x)-A|<e/2. Для x¢,x¢¢ÎÇX получим требуемое неравенство |f(x¢) - f(x¢¢)|<|f(x¢) - A|+|f(x¢¢) -A| < e/2+e/2=e.

Достаточность. Пусть e>0. Тогда $ "x¢,x¢¢ÎÇX:|f(x¢)-f(x¢¢)|<e . Если {xn} последовательность типа Гейне для a , то из сходимости {xn}®a  и условия xn¹a следует, что $ N"n>N, "p:xnÎи xn+pÎ. Тогда для тех же "n>N, "p : |f(xn) - f(xn+p)|<e . Таким образом, последовательность {f(xn)} будет удовлетворять условию Коши для последовательностей, поэтому существует некоторый предел . Докажем, что для любой другой последовательности типа Гейне {yn} предел будет также равен B. Составим последовательность

, {zn}={x1, y1,x2, y2,x3, y3,…}.

Эта последовательность будет последовательностью типа Гейне при x®a и, как уже доказано, предел  должен существовать. Тогда все частичные пределы должны совпадать, в частности, =.

1924 г. Усилиями Д.Ф.Егорова возобновляется издание "Математического сборника", выходящего с 1866 г. органа Московского математического общества. Очередной 31 том, выходит в свет после 8-летнего перерыва. Предшествующий – 30-й том был выпущен в 1916 г.

Пределы Интегралы Вычисление двойного интеграла Изменить порядок интегрирования Объектно-ориентированное программирование Архитектура приложений баз данных Примеры скриптов Высшая математика