Некоторые понятия теории множеств и математической логики
Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетные множества
Комплексные числа
Определение комплексного числа
Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение
Исследовать на сходимость числовые ряды
Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
Ограниченное множество. Точные грани
Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
Теорема Ферма о нуле производной
Основные понятия, относящиеся к последовательностям
Теоремы о пределах последовательностей
Некоторые свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
Верхний и нижний пределы последовательности
Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
Основные понятия, относящиеся к функции
Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
Критерий Коши существования предела функции
Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
Свойства пределов
Арифметические операции над пределами
Непрерывность в точке и на множестве
Простейшие свойства непрерывных функций
Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
Критерий непрерывности монотонной функции
Непрерывность обратной функции
Непрерывность элементарных функций
Производная Определение производной
Геометрическая интерпретация производной
Основные правила дифференцирования
Вычисление производной обратной функции
Производные элементарных функций
Функции заданные параметрически
Вычисление производных функций, заданных неявно
Инвариантность формы дифференциала первого порядка
Дифференцирование функций, заданных неявно
Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением
F(x,y)=0
и пусть y=f(x) однозначная ветвь этой функции с областью определения X.
Для вычисления дифференциала dy(x0) функции достаточно продифференцировать равенство F(x, y)=0 . В результате такого дифференцирования получится соотношение вида
A(x,y)dx+B(x,y)dy=0 ,
где A(x,y), B(x,y) будут представлять собой некоторые выражения, включающие в себя x и y . Из последнего соотношения можно найти выражение для dy в нужной точке.
Пример 1: x2+y2=1, найти d2y.
2xdx+2ydy=0, dy=
dx. Для нахождения второго дифференциала следует использовать равенство xdx+ydy=0, дифференцируя, получим
dxdx+xd2x+dydy+yd2y=0 или dx2+dy2+ yd2y=0 , откуда получаем d2y=
.
Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn.
Единственность представления функции по формуле Тейлора
Другие формы остатка в формуле Тейлора
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора
Разложить функцию f(x)=1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x5 включительно
Элементы теории кривых
Векторная функция скалярного аргумента
Длина кривой Спрямляемая кривая
Плоские кривые
Понятие кривизны и ее вычисление
Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
Выпуклость функции, точки перегиба
Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат