Математика курс лекций математического анализа

 

Некоторые понятия теории множеств и математической логики

Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетные множества

Некоторые понятия математической логики

Вещественные числа

Треугольник Паскаля

Комплексные числа

Определение комплексного числа

Свойства комплексных чисел

Алгебраическая форма записи

Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение

Формула Муавра

Контрольная по математике Практикум по решению задач

Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел

Ограниченное множество. Точные грани

Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ферма о нуле производной

Теорема Ролля о нуле производной

Теорема Коши о конечных приращениях

Основные понятия, относящиеся к последовательностям Куплю диплом техникума, купить красный диплом, диплом охраника купить

Предел последовательности

Несобственные пределы

Теоремы о пределах последовательностей

Монотонные последовательности

Некоторые свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных чисел

Верхний и нижний пределы последовательности

Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности Купить диплом в Москве, как проверить купленный диплом, купить диплом вуза

Свойства последовательностей

Основные понятия, относящиеся к функции программа IMG to ISO

Ограниченность. Точные грани

Элементарные функции

Определение предела по Коши

Односторонние пределы. Предел слева, предел справа

Определение предела по Гейне

Критерий Коши существования предела функции

Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел

Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке

Предел сложной функции

Свойства пределов

Арифметические операции над пределами

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Замечательные пределы

Непрерывность в точке и на множестве

Простейшие свойства непрерывных функций

Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса

Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции

Критерий непрерывности монотонной функции

Непрерывность обратной функции

Непрерывность элементарных функций

примеры

Равномерная непрерывность

Производная Определение производной

Геометрическая интерпретация производной

Дифференциал функции

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Вычисление производной обратной функции

Производные элементарных функций

Функции заданные параметрически

Производные высших порядков

Вычисление производных функций, заданных неявно

Формула Лейбница

Дифференциалы высших порядков

Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Дифференцирование функций, заданных неявно

Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением

F(x,y)=0 

и пусть y=f(x) однозначная ветвь этой функции с областью определения X.

Для вычисления дифференциала dy(x0) функции достаточно продифференцировать равенство F(x, y)=0 . В результате такого дифференцирования получится соотношение вида

A(x,y)dx+B(x,y)dy=0 , 

где A(x,y), B(x,y) будут представлять собой некоторые выражения, включающие в себя x и y . Из последнего соотношения можно найти выражение для dy в нужной точке.

Пример 1: x2+y2=1, найти d2y.

2xdx+2ydy=0, dy=dx. Для нахождения второго дифференциала следует использовать равенство xdx+ydy=0, дифференцируя, получим

dxdx+xd2x+dydy+yd2y=0 или dx2+dy2+ yd2y=0 , откуда получаем d2y=.

Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn.

Остаток в форме Пеано

Единственность представления функции по формуле Тейлора

Другие формы остатка в формуле Тейлора

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора

Разложить функцию f(x)=1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x5 включительно

Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f(x)=tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x6 включительно.

Пример

Формула Тейлора для четных и нечетных функций

Элементы теории кривых

Векторная функция скалярного аргумента

Предел вектор функции

Непрерывность вектор функции

Правила дифференцирования

Длина кривой Спрямляемая кривая

Теорема 1

Теорема 2

Теорема 3

Пример

Плоские кривые

Понятие кривизны и ее вычисление

Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой

Условие монотонности функции

Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )

Исследование функций на экстремум по знаку высших производных

Выпуклость функции, точки перегиба

Асимптоты функций

Пример

Пример

Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат

Раскрытие неопределенностей

Использование правила Лопиталя

Примеры